Youngs modul - elasticitet – Fysikleksikon - Niels Bohr Institutet - Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Fysikleksikon > Y > Youngs modul - elastic...

10. august 2025

Youngs modul - elasticitet

Grundbeskrivelse

Trækkraften F strækker cylinderen med tværsnitsarealet A stykket \(\Delta L = L - L_0\). (Chano Birkelind).

Youngs modul, E, er en materialekonstant ,også kaldet det elastiske modul eller E-modulet. Det måles i pascal (Pa) og fortæller noget om et elastisk materiales modstandskraft mod deformation. At et stof er elastisk, betyder, at det går tilbage til sin oprindelige form, når det ikke længere er udsat for ydre kræfter.

Et materiales fleksibilitet er omvendt proportionalt med Youngs modul. Det vil sige, at jo mindre det elastiske modul er jo mere fleksibelt er materialet. Eksempelvis er E = 10-100MPa for gummi (ved meget korte stræk) og 200GPa for stål.

Elastiske moduler er vigtige, fordi de lader ingeniører og arkitekter bedømme, hvor holdbar en konstruktion er på forhånd. De kan bruges til at forudsige, hvor meget for eksempel en bærende bjælke i en konstruktion vil give sig under belastning. Et andet eksempel kan være en fiskestang og akslen mellem to hjul.

Af mere eksotiske tilfælde er actin-filamenterne i cellen, når de presser mod cellemembranen.

Uddybende beskrivelse

Youngs modul E er forholdet mellem spændingen \(\sigma\) og tøjningen \(\varepsilon\).
\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon}\]
Spændingen og tøjningen er defineret på denne måde: Spændingen \(\sigma\) er træk- (eller tryk-) kraften F divideret med arealet A:
\[\sigma = \frac{F}{A}\]
Tøjningen er den relative forlængelse eller sammenpresning, dvs. forlængelsen  \(\Delta L\) divideret med længden \(L_0\)
\[\varepsilon =\frac{\Delta L}{L_0}\]

\Trækprøvningskurve for aluminium. Tøjning ud ad x-aksen og spænding op ad y-aksen. (1). Maksimal trækstyrke. Ved større kræfter knækker materialet. (2). Flydegrænsen. Herefter kan materialet ikke gå tilbage til sin oprindelige form(3). Proportinalitetsgrænse. Op til dette punkt er spænding og deformation proportionalt, så kurven er en ret linie. Derefter vil materialet deformeres mere og mere. (4). Brudgrænse. Her går materialet i stykker. (5). offset. Tilfældigt valgt punkt, hvis ikke det er klart defineret, hvor et materiale går fra elastisk til plastisk deformation. Som regel 0.2\% af \(\varepsilon\). (Wikimedia commons).

Der er flere metoder til at måle et materiales elasticitet. Eksperimentelt kan det bl.a. måles ved at lave en såkaldt trækprøvning på et materiale af interesse. I en trækprøvning måler man, hvor stor deformation der sker, når man strækker materialet.

Youngs modul vil da være hældningen i det elastiske interval af den resulterende kurve (fra 0-3 på figuren).

En anden mulighed er at måle lydens hastighed gennem materialet. Hvis vi bytter lidt rundt på ligningen for det elastiske modul, får vi ligningen for en fjeder (Hookes lov).
\[F = \frac{EA}{L_{0}}\Delta L =
kx\]
hvor \(k = \frac{EA}{L_{0}}\) og \(x = L-L_{0}=\Delta L\). For langt de fleste lineære materialer er Youngs modul det samme i alle retninger. Disse kaldes isotrope. Det er dog ikke dem alle, dette gælder for. Nogle materialer har forskelligt modul, alt efter i hvilken retning trykket kommer fra, og den type materialer kaldes anisotrope.

Træer er gode eksempler på anisotrope materialer, og man kan kunstigt fremstille eksempelvis metaller med urenheder, der gør det mere eller mindre fleksibelt.

Denne egenskab udnyttes blandt andet i kunstige stoffer som kulfiber, hvor modulet er størst når kraften er parallel med fibrene.

Andre elastiitetsmoduler

Youngs modul er ikke alene nok til at beskrive enhver situation, da det kun beskriver lineær spænding. Derfor er det nødvendigt med flere moduler for en mere komplet forståelse. For en væske, gas eller lignende er det f.eks. kun kompressibilitets-modulet, der giver mening at bruge.

Kompressibilitetsmodulet

Et elastisk materiale, der udsættes for en ensartet trykændring  \(\Delta p\) hvorved dens volumen \(V\) ændres med \(- \Delta V\). (Chano Birkelind)

Hvis vi forestiller os, at en klods af et elastisk materiale er udsat for et ensartet tryk på alle 6 overflader, som for eksempel på bunden af havet. Klodsen vil blive komprimeret således at dens volumen bliver mindre.

Kompressibilitetsmodulet, K fortæller os noget om, hvor modstandsdygtigt et materiale er overfor denne form for sammentrykning eller med andre ord: Hvor stor en trykændring, der skal til for at forårsage en given negativ volumenændring.

Modulet er defineret som trykændringen \(\Delta p\) divideret med den relative volumenændring \(-\frac{\Delta V}{V_0}\) og måles ligesom Youngs modul i Pascal: \[K=- \frac{\Delta p}{\Delta V}V_0\] Hvor K er kompressibilitets modulet, \(\Delta p\) er trykændringen og \(- \frac{\Delta V}{V_0}\) er den relative volumenændring.

Forskydningsmodulet

En klods af elastisk materiale med højden L, der udsættes for en forskydning \(\Delta x\) på grund af kraften F, der påvirker toppen af klodsen parallelt med underlaget. (Chano Birkelind)

Hvis vi nu forestiller os klodsen fra før ikke er under tryk, men derimod er fastgjort til to plader. En i bunden og en på toppen og den ene af pladerne så begynder at flytte sig i en retning parallelt med overfladen.

Forskydningsmodulet siger så noget om deformationen af materialet.
\[G= \frac{\tau}{\gamma}\]
Hvor \(G\) er forskydningsmodulet, \(tau=\frac{F}{A}\) er forskydningsspændingen (kraft pr. areal, derfor enhed af tryk) og \(\gamma=\frac{\Delta x}{L}\) er forskydningsdeformationen (enhedsløs).

En måde at definere, om noget er en væske eller e,j er at se på forskydningsmodulet. Hvis det er nul, vil man oftest sige, at der er tale om en væske.

Chano Birkelind